درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم تجربی

جوزف تامسون فیزیک‌دان انگلیسی، در سال 1896 میلادی موفق به کشف الکترون و اندازه گیری نسبت بار به جرم $e/m$ آن شد. کشف الکترون، تامسون را ترغیب کرد تا مدلی برای اتم ارائه دهد. این مدل سرانجام در سال 1904 میلادی ارائه شد. بنا بر مدل تامسون، اتم همچون کره‌ای است که بار مثبت به طور همگن در سرتاسر آن گسترده شده است و الکترون‌ها که سهم ناچیزی در جرم اتم دارند در جاهای مختلف آن پراکنده شده‌اند. این مدل را گاهی مدل کیک کشمشی هم می‌گویند، زیرا الکترون‌ها مانند دانه‌های کشمش در آن پخش شده‌اند (شکل ۴-۷).

در مدل اتمی تامسون، وقتی الکترون‌ها با بسامدهای معیّنی حول وضع تعادلشان نوسان می‌کنند این نوسان سبب تابش امواج الکترومغناطیسی از اتم می‌شود. یکی از ناکامی‌های مدل تامسون این بود که بسامدهای تابش گسیل شده از اتم، که این مدل پیش بینی می‌کرد، با نتایج تجربی سازگار نبود. وقتی ارنست رادرفورد در سال 1911 میلادی نتایج آزمایش‌هایی را انتشار داد که مدل تامسون نمی‌توانست آنها را توضیح دهد، این مدل کنار گذاشته شد. رادرفورد و همکارانش باریکه‌اى از ذره‌هاى داراى بار مثبت را (از جنس هستهٔ اتم هلیم که به آن ذرهٔ آلفا گفته می‌شود) بر سطح ورقه‌اى نازک از جنس طلا فرو تاباندند (شکل ۴-۸). رادرفورد بنابر مدل تامسون انتظار داشت که تمامی ذره‌های آلفا، با انحراف بسیار اندکی از ورقهٔ طلا بگذرند. در عمل نیز بیشتر این ذره‌ها بدون انحراف یا با انحراف اندکی از ورقهٔ طلا مى‌گذشتند و در برخورد با صفحهٔ فلوئورسان، در پشت آن، جرقه‌هاى نورانى تولید مى‌کردند. با وجود این، برخى از ذره‌های آلفا در هنگام خروج از ورقهٔ نازک طلا، در زاویه‌هاى بزرگ منحرف و پراکنده مى‌شدند و حتى تعدادى از آنها نیز به عقب برمى‌گشتند! رادرفورد پس از انجام این آزمایش و بر اساس مدل تامسون و شناختی که از باریکهٔ ذرات آلفا داشت، گفت: «مثل آن بود که گلولهٔ توپى را به ورقهٔ نازکى از کاغذ شلیک کنید و با شگفتى مشاهده کنید که پس از برخورد گلولهٔ توپ با سطح کاغذ، گلوله بازگردد.» این ذره‌ها باید با چیز پرجرمى برخورد کرده باشد؛ این ذره‌ها باید با چیز پرجرمى برخورد کرده باشد؛ اما با چه چیزى؟ رادرفورد استدلال کرد که ذره‌هاى بدون انحراف باید از قسمت‌هایى از ورقه گذشته باشند که تهى بوده باشد، در حالى که ذره‌هاى با انحراف شدید از مرکزهایى بسیار چگال و داراى بار مثبت منحرف شده‌اند. وی سرانجام نتیجه گرفت باید هسته‌اى چگال و داراى بار مثبت در مرکز هر اتم باشد که با مدل اتمی تامسون به طور آشکار مغایرت داشت.

بنا بر مدل رادرفورد، اتم دارای یک هستهٔ بسیار چگال و کوچک ($\approx {{10}^{-15}}m$ شعاع) و با بار مثبت است که با تعدادی الکترون در فاصله‌هایی به نسبت دور احاطه شده است. در حالت طبیعی، اتم از نظر الکتریکی خنثاست؛ زیرا بار مثبت هسته، درست مساوی مجموع بار منفی الکترون‌هایی است که هسته را دربرگرفته‌اند. مدل اتمی رادرفورد که آن را مدل اتم هسته‌ای یا مدل هسته‌ای اتم می‌‌نامند، در مواردی با موفقیت همراه بود، ولی با چالش‌های تازه‌ای نیز مواجه شد. این چالش‌ها برای خود رادرفورد نیز مطرح شده بود، ولی به طور صریح می‌گفت که: «نباید از مدلی که بر اساس بعضی نتایج تجربی ساخته شده است انتظار داشته باشیم که به تمامی چالش‌ها پاسخ دهد.»

اگر الکترون‌ها را نسبت به هسته ساکن فرض کنیم، مطابق شکل ۴-۹ الف، باید تحت تأثیر نیروى ربایشى الکتریکى بین هسته و الکترون، روى هسته سقوط کنند و در نتیجه اتم باید ناپایدار باشد؛ چیزی که با واقعیت جور در نمی‌آید. همچنین اگر الکترون‌ها، مانند سیاره‌هاى منظومهٔ خورشیدى که دور خورشید می‌چرخند، به دور هسته در گردش باشند، باز هم این حرکت پایدار نمى‌ماند. زیرا حرکت مداری الکترون به دور هسته، شتابدار است. بنا بر فیزیک کلاسیک، این حرکت شتابدار الکترون سبب تابش امواج الکترومغناطیسى می‌شود که بسامد آن، با بسامد حرکت مدارى الکترون برابر است. با تابش موج الکترومغناطیسى توسط الکترون، از انرژى آن کاسته مى‌شود. این کاهش انرژى باعث مى‌شود که شعاع مدار الکترون به دور هسته به تدریج کوچک‌تر و بسامد حرکت آن به تدریج بیشتر شود. این افزایش تدریجی بسامد حرکت مدارى الکترون‌ها، سبب می‌شود تا بسامد موج الکترومغناطیسى گسیل شده نیز به تدریج زیاد شود. به این ترتیب باید طیف امواج الکترومغناطیسى گسیل شده از اتم، پیوسته باشد و الکترون پس از گسیل پی در پی امواج الکترومغناطیسى روى هسته فرو افتد (شکل ۴-۹ ب). این نتیجه افزون بر اینکه با واقعیت ناسازگار است با طیف خطی گسیل شده توسط اتم‌ها نیز جور در نمی‌آید.

در سال 1913 میلادی، بور مدلی را برای اتم هیدروژن ارائه کرد. این مدل افزون بر آنکه مسئلهٔ ناپایداری اتم را در مدل رادرفورد حل می‌کرد معادلهٔ ریدبرگ برای طیف خطی اتم هیدروژن را نیز نتیجه می‌داد. نظریهٔ بور با مدل اتم هسته‌ای رادرفورد، شروع می‌شد. بور با این پیشنهاد که «در مقیاس اتمی، قوانین مکانیک کلاسیک و الکترومغناطیس باید توسط قوانین دیگری جایگزین یا تکمیل شود» گامی بزرگ و جسورانه برای رفع مشکلات مدل رادرفورد برداشت. در ادامه با برخی از اصول و مفروضات مدل بور آشنا می‌شویم.
1- مدارها و انرژی‌های الکترون‌ها در هر اتم کوانتیده‌اند؛ یعنی فقط مدارها و انرژی‌های گسستهٔ معیّنی مجاز هستند.
بور پس از محاسبات نسبتاً ساده‌ای نشان داد که شعاع این مدارها و انرژی الکترون برای اتم هیدروژن از رابطه‌های زیر به دست می‌آید:

(۴-۴)   (شعاع مدارهای الکترون برای اتم هیدروژن)  ${{r}_{n}}={{a}_{0}}{{n}^{2}}$

(۵-۴)  (ترازهای انرژی الکترون در اتم هیدروژن)  ${{E}_{n}}=\frac{-13/6eV}{{{n}^{2}}}$

در این روابط $n$ عدد کوانتومی نامیده می‌شود $(n=1,2,3,...)$ که مدار الکترون را دور هسته مشخص می‌شود. همچنین ${{a}_{0}}$ شعاع کوچک‌ترین مدار در اتم هیدروژن (به ازای $n=1$) و مقدار آن برابر ${{a}_{0}}={{r}_{1}}=5/29\times {{10}^{-11}}m$ است. این مقدار خاص، شعاع بور برای اتم هیدروژن نامیده می‌شود. همچنین انرژی الکترون در $n=1$  برابر ${{E}_{1}}=-13/6eV$ است که اندازهٔ آن را معمولاً یک ریدبرگ می‌‌نامند و با نماد ${{E}_{R}}$ نشان می‌دهند $({{E}_{R}}=13/6eV)$. شکل ۴-۱۰ سه مدار اول بور را برای اتم هیدروژن نشان می‌دهد.

2- وقتی یک الکترون در یکی از مدارهای مجاز است، هیچ نوع تابش الکترومغناطیسی گسیل نمی‌شود. از این رو گفته می‌شود الکترون در مدار مانا یا حالت مانا قرار دارد.
3- الکترون می‌تواند از یک حالت مانا به حالت مانای دیگر برود. هنگام گذار الکترون از یک حالت مانا با انرژی بیشتر ${{E}_{U}}$ به یک حالت مانا با انرژى کمتر ${{E}_{L}}$، یک فوتون تابش می‌شود (شکل ۴-۱۱).

در این صورت انرژى فوتون تابش شده برابر اختلاف انرژى بین دو مدار اولیه و مدار نهایی است، یعنى:

(۶-۴)  (معادلهٔ گسیل فوتون از اتم) ${{E}_{U}}-{{E}_{L}}=hf$

نمودار ترازهای انرژی الکترون برای اتم هیدروژن: مفید است که مقدارهای انرژی داده شده در معادلهٔ ۴-۵ را مانند شکل ۴-1۲ روی نمودار تراز انرژی نمایش دهیم. در این نمودار، که برای اتم هیدروژن رسم شده است بالاترین تراز انرژی به $n=\infty $ در معادلهٔ ۴-۵ مربوط است و دارای انرژی $0ev$ است. برعکس، پایین‌ترین تراز انرژی مربوط به $n=1$ است و دارای مقدار $-13/6eV$ است. پایین‌ترین تراز انرژی، حالت پایه نامیده می‌شود تا از ترازهای بالاتر که حالت‌های برانگیخته نامیده می‌شوند متمایز باشد. توجه کنید که با افزایش $n$ چگونه انرژی‌های حالت‌های برانگیخته به هم نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند.
در اتم هیدروژن و در دمای اتاق، الکترون اغلب در حالت پایه قرار دارد. برای بالا بردن الکترون از حالت پایه $(n=1)$ به بالاترین حالت برانگیختهٔ ممکن $(n=\infty )$ مقدار $13/6eV$ انرژی باید صرف شود. صرف این مقدار انرژی، الکترون را از اتم خارج می‌کند و یون مثبت هیدروژن ${{H}^{+}}$ ایجاد می‌شود. این کمترین انرژی لازم برای خارج کردن الکترون از حالت پایه، انرژی یونش الکترون نامیده می‌شود. مقدار پیش بینی شده توسط مدل بور برای انرژی یونش اتم هیدروژن، توافق بسیار خوبی با مقدار تجربی دارد.

استخراج معادلۀ ریدبرگ برای اتم هیدروژن از مدل بور: همان طور که در ابتدای این بخش نیز اشاره کردیم یکی از موفقیت‌های مدل بور نتیجه گیری معادلهٔ ریدبرگ برای طیف خطی گاز هیدروژن اتمی است. برای بررسی بیشتر این موضوع فرض کنید الکترون اتم هیدروژن در یکی از حالت‌های برانگیخته باشد و بخواهد به حالتی با انرژی کمتر جهش کند. به عبارت دیگر الکترون از مدار مانای ${{n}_{U}}$ به مدار مانای ${{n}_{L}}$ می‌رود و فوتونی را گسیل می‌کند. با توجه به روابط ۴-۵ و ۴-۶، بسامد فوتون گسیل شده برابر است با:

$f=\frac{1}{h}({{E}_{U}}-{{E}_{L}})=\frac{{{E}_{R}}}{h}(\frac{1}{{{n}_{L}}^{2}}-\frac{1}{{{n}_{U}}^{2}})$

با استفاده از رابطهٔ $f=c/\lambda $ طول موج فوتون گسیل شده را پیدا می‌کنیم.

$\frac{c}{\lambda }=\frac{{{E}_{R}}}{h}(\frac{1}{{{n}_{L}}^{2}}-\frac{1}{{{n}_{U}}^{2}})\Rightarrow \frac{1}{\lambda }=\frac{{{E}_{R}}}{hc}(\frac{1}{{{n}_{L}}^{2}}-\frac{1}{{{n}_{U}}^{2}})$

از سوی دیگر داریم:

$\frac{{{E}_{R}}}{hc}=\frac{13/6eV}{1240eV.nm}=0/0109{{(nm)}^{-1}}$

که این مقدار، با تقریب بسیار خوبی همان ثابت ریدبرگ $R$ است که پیش از این با آن آشنا شدیم. به این ترتیب داریم:

$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{{{n}_{L}}^{2}}-\frac{1}{{{n}_{L}}^{2}})$

این رابطه همان معادلهٔ ۴-۳ است که با اصلاح و بازنویسی معادلهٔ بالمر برای طیف گسیلی خطی هیدروژن توسط ریدبرگ به دست آمد. در نتیجه به کمک مدل بور مى‌توانیم رابطهٔ تجربى ریدبرگ را به دست آوریم و طیف خطی هیدروژن اتمی را توجیه کنیم. وقتى الکترون برای مثال از مدار ${{n}_{U}}=3$ به مدار ${{n}_{L}}=2$ مى‌رود، طول موج فوتون گسیل شده برابر است با:

$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{{{n}_{L}}^{2}}-\frac{1}{{{n}_{U}}^{2}})=0/0109{{(nm)}^{-1}}(\frac{1}{{{2}^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{2}}})\Rightarrow \lambda =660nm$

مقدار به دست آمده به نحو چشمگیری به طول موج خط قرمز در رشتهٔ بالمر که از تجربه حاصل شده، نزدیک است.

طیف جذبی گاز هیدروژن اتمی و مدل بور: در سال 1814 میلادی فرانهوفر، با مشاهدهٔ دقیق طیف خورشید، خط‌های تاریک نازکی را در آن کشف کرد (شکل ۴-1۳). این تجربه نشان می‌داد در تابشی که از خورشید گسیل می‌شود و به زمین می‌رسد بعضی از طول موج‌ها وجود ندارند. امروزه می‌دانیم بسیاری از خط‌های تاریکی که فرانهوفر در طیف خورشید کشف کرد، ناشی از جذب طول موج‌های مربوط به این خط‌ها توسط گازهای جو خورشید است. خط‌های دیگر به سبب جذب نور در گازهای جو زمین پدید می‌آیند.

شکل ۴-1۴ اسباب آزمایشی را به صورت طرح وار نشان می‌دهد که در آن باریکهٔ نور سفید قبل از عبور از منشور، از گاز کم فشارهیدروژن می‌گذرد. با انجام این آزمایش پی می‌بریم یک طیف پیوسته (مشابه طیف رنگین کمان) با خط‌هایی تاریک درون آن مشاهده می‌شود که در آن بعضی از طول موج‌ها از نور سفید جذب شده‌اند.

دراواسط قرن نوزدهم، آزمایش‌هایی مشابه آنچه بیان کردیم برای گازهای عناصر مختلف انجام شد. این آزمایش‌ها نشان می‌داد که اگر نور سفید از داخل گاز عنصرى عبور کند و سپس طیف آن تشکیل شود، در طیف آن، خط‌هاى تاریکى ظاهر مى‌شود. این خط‌ها (طول موج‌ها) توسط اتم‌هاى گاز عنصر جذب شده‌اند. شکل ۴-1۵، طیف گسیلی و طیف جذبی گاز هیدروژن اتمی را در کنار یکدیگر نشان می‌دهد. مطالعه و مقایسهٔ این دو طیف و همچنین طیف هاى گسیلى و جذبى عنصرهاى مختلف نشان مى‌دهد که:
* هم در طیف گسیلى و هم در طیف جذبى اتم‌های گاز هر عنصر، طول موج‌هاى معیّنى وجود دارد که از مشخصه‌های آن عنصر است. یعنى طیف گسیلى و طیف جذبى هیچ دو گازی همانند یکدیگر نیست.
* اتم‌های هر گاز دقیقاً همان طول موج‌هایى را از نور سفید جذب مى‌کنند که اگر دماى آنها به اندازهٔ کافى بالا رود و یا به هر صورت دیگر برانگیخته شوند، آنها را تابش مى‌کنند.

اینکه چرا هر عنصر تنها طول موج‌هاى خاصى را که مشخصهٔ آن عنصر است جذب یا گسیل مى‌کند چالشی بود که برای چندین دهه فیزیک‌دانان را به خود مشغول کرده بود و تا پیش از ارائهٔ مدل بور، نظریهٔ قابل قبولى براى توضیح آن وجود نداشت. اکنون بر اساس مدل بور می‌دانیم که خط‌های گوناگون در طیف گسیلی گاز هیدروژن اتمی وقتی به وجود می‌آیند که الکترون‌های اتم‌های هیدروژن، که به هر دلیلی برانگیخته شده‌اند، از تراز انرژی بالاتر به تراز انرژی پایین‌تر جهش کنند و فوتون‌هایی را گسیل کنند (شکل ۴-1۶ الف). همچنین الکترون‌ها می‌توانند در جهت عکس گذار کنند، یعنی در فرایندی که جذب فوتون خوانده می‌شود از ترازهای انرژی پایین‌تر به ترازهای انرژی بالاتر بروند (شکل ۴-1۶ ب). در این حالت، اتم، فوتونی را که دقیقاً انرژی لازم برای گذار را دارد جذب می‌کند. به این ترتیب اگر فوتون‌هایی با گسترهٔ پیوسته‌ای از طول موج‌ها مطابق آزمایش شکل ۴-1۴ از گاز بگذرند و سپس طیف آنها تشکیل شود، یک دسته خط‌های جذبی تاریک در طیف پیوسته مشاهده خواهند شد. خط‌های تاریک، طول موج‌هایی را مشخص می‌کنند که با فرایند جذب فوتون برداشته شده‌اند.

موفقیت‌ها و نارسایی‌های مدل بور: مدل بور تصویری از چگونگی حرکت الکترون‌ها به دور هسته ارائه می‌کند. این مدل در تبیین پایداری اتم، طیف گسیلی و جذبی گاز هیدروژن اتمی و محاسبهٔ انرژی یونش اتم هیدروژن با موفقیت همراه است. افزون بر این، مدل بور را برای اتم‌های هیدروژن گونه نیز می‌توان به کار برد. اتم هیدروژن گونه به اتم‌هایی گفته می‌شود که تنها یک الکترون دارند. برای مثال، اتم لیتیم که در حالت خنثی سه الکترون دارد اگر دو الکترون خود را از دست داده باشد، یک اتم هیدروژن گونه است. مدل بور می‌تواند انرژی یونش و همچنین طول موج‌های طیف خطی اتم‌های هیدروژن گونه مانند لیتیم دو بار یونیده $(L{{i}^{2+}})$ را پیش بینی کند که با تجربه سازگاری خوبی دارد.
مدل بور به رغم موفقیت‌هایی که اشاره شد، نارسایی‌هایی نیز دارد که تنها به دو مورد از آنها اشاره می‌کنیم. این مدل برای وقتی که بیش از یک الکترون به دور هسته می‌گردد به کار نمی‌رود، زیرا در مدل بور، نیروی الکتریکی که یک الکترون بر الکترون دیگر وارد می‌کند به حساب نیامده است. همچنین این مدل نمی‌تواند متفاوت بودن شدت خط‌های طیف گسیلی را توضیح دهد. برای مثال مدل بور نمی‌تواند توضیح دهد که چرا شدت خط قرمز با شدت خط آبی در طیف گسیلی گاز هیدروژن اتمی با یکدیگر متفاوت است.